🔬 泰勒公式动画演示
探索泰勒级数的数学之美，通过交互式动画理解函数逼近的原理
⚙️ 函数配置
📐 多项式配置
📜 泰勒级数展开
\( f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n. \)
误差边界: \( R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \)
原始函数
泰勒多项式逼近
展开点 (a)
📚 泰勒公式与收敛分析
泰勒公式是微积分中最重要的工具之一，它允许我们在一个点附近用多项式逼近任何光滑函数。多项式形式为：
\[ P_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \]
🔍 误差边界 (Error Bounds)
泰勒多项式逼近的误差由余项公式给出：
\[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \]
其中 \(\xi\) 是位于 \(a\) 和 \(x\) 之间的某个点。误差边界表示逼近的精度范围。
⭕ 收敛半径 (Convergence Radius)
对于幂级数，收敛半径是级数收敛的区间半径：
\[ |x - a| < R \]
其中 \(R\) 是收敛半径。在收敛半径内，泰勒级数收敛于原函数；在收敛半径外，级数发散。
📈 收敛特性
- sin(x) 和 cos(x)：处处收敛
- e^x：处处收敛
- ln(1+x)：在 (-1, 1] 收敛
- arctan(x)：在 [-1, 1] 收敛
- 1/(1-x)：在 (-1, 1) 收敛